جزوه رایگان فصل اول ریاضی پیام نور – مبحث توابع

جزوه فصل اول ریاضی پیام نور – مبحث توابع

1. تعریف تابع:

• تابع به رابطه‌ای اطلاق می‌شود که هر ورودی (X) به یک خروجی (Y) مرتبط است.
• نماد ریاضی برای تابع: $f:X\to Y$
• دامنه و برد تابع:
  • دامنه (Domain): مجموعه‌ای از مقادیر ورودی.
  • برد (Range): مجموعه‌ای از مقادیر خروجی.

2. توابع یک به یک (Injective):

• تابع یک به یک تابعی است که به ازای هر مقدار ورودی (X)، تنها یک مقدار خروجی (Y) دارد.
• نمودار تابع یک به یک، باید به گونه‌ای باشد که هیچ نقطه‌ای از آن دو بار در یک راستا بر روی محور افقی برخورد نکند.
• برای تشخیص یک تابع یک به یک از نمودار آن استفاده می‌کنیم.

3. توابع پوشا (Surjective):

• تابع پوشا تابعی است که برای هر عنصر از مجموعه برد، حداقل یک مقدار ورودی در دامنه وجود دارد.
• به عبارت دیگر، همه مقادیر در مجموعه برد توسط تابع پوشش داده می‌شوند.

4. توابع یکنوا (Monotonic):

• تابعی است که به طور مداوم صعودی یا نزولی باشد.
• اگر برای هر x1x_1x1​ و x2x_2x2​ با x1<x2x_1 < x_2x1​<x2​ داشته باشیم که f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)f(x1​)<f(x2​) یا f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)f(x1​)>f(x2​)، آنگاه تابع صعودی یا نزولی است.

5. توابع کراندار (Bounded):

• تابعی کراندار است که در آن وجود دارد یک مقدار M که $|f(x)|\le M$ برای همه $x$ در دامنه تابع.
• این تابع می‌تواند از بالا یا پایین کراندار باشد.

6. توابع معکوس (Inverse Functions):

• اگر تابعی یک به یک و پوشا باشد، معکوس آن تعریف می‌شود.
• معکوس تابع f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x) تابعی است که برای هر مقدار خروجی $y$ مقدار ورودی متناظر با آن $x$ را پیدا می‌کند.
• برای محاسبه معکوس تابع، معمولاً از رابطه $y=f(x)$ استفاده کرده و متغیرها را برحسب یکدیگر تغییر می‌دهیم.

7. توابع مثلثاتی و معکوس آن‌ها:

• توابع مثلثاتی شامل $\sin (x)$, $\cos (x)$, $\tan (x)$ و معکوس آن‌ها مانند $\arcsin (x)$, $\arccos (x)$, $\arctan (x)$ هستند.
• خواص این توابع:
  • $\sin (-x)=-\sin (x)$
  • $\cos (-x)=\cos (x)$
  • $\tan (-x)=-\tan (x)$
  • توابع معکوس مانند $\arcsin (x)$ یک تابع فرد و صعودی است، در حالی که $\arccos (x)$ زوج و نزولی است.

8. دوره تناوب:

• یک تابع متناوب تابعی است که مقادیر آن بعد از یک دوره خاص تکرار می‌شود.
• برای توابع مثلثاتی مانند $\sin (x)$ و $\cos (x)$ دوره تناوب برابر با $2\pi$ است.

9. تحلیل و رسم نمودار توابع:

• برای رسم نمودار توابع معمولاً ابتدا رفتار تابع در دامنه‌ها و بردهای مختلف بررسی می‌شود.
• نقاط برخورد با محورهای مختصات و تغییرات نشانه‌گذاری می‌شود تا بتوان نمودار تابع را کامل‌تر رسم کرد.

مثال‌ها:

1. تابع f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2:
   • تابعی زوج است که نمودار آن نسبت به محور $Y$ متقارن است.
2. تابع f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3:
   • تابعی فرد است که نمودار آن نسبت به مبدأ مختصات متقارن است.
3. توابع مثلثاتی:
   • برای مثال، تابع $\sin (x)$ دوره تناوب $2\pi$ دارد و تابع $\tan (x)$ دوره تناوب $\pi$ دارد.